SISTEMA SEXAGESIMAL

El sistema sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior, es decir, es su sistema de numeración en base 60. Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos.
1 h 60 min 60 s
1º 60' 60''

Operaciones en el sistema sexagesimal
Suma
1er paso

Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.


MEDIDA COMPLEJA
Es aquella que expresa distintas clases de unidades:
3 h 5 min 7s
25° 32' 17''.
MEDIDA SIMPLE O DECIMAL
Se expresa únicamente con una clase de unidades.
3.2 h
5.12º.

Paso de medidas complejas a incomplejas
Para pasar de medidas complejas a incomplejas hay que transformar cada una de las unidades que tenemos en la que queremos obtener, como resultado final.
Pasar a segundos 3 h 36 min 42 s.

Paso de medidas incomplejas a complejas
Tenemos dos casos:
1 Si queremos pasar a unidades mayores hay que dividir.
7520''

7520''

Si queremos pasar a unidades menores hay que multiplicar.

EVALUACION FINAL

IED SAN JOSEMARIA ESCRIVA DE BALAGUER

EVALUACION GENERAL DE TRIGONOMETRÍA 2009

 

 

NOMBRE_______________________________________CURSO ___________FECHA

NOTA: ESTE CUESTIONARIO LO ENCUENTRA MEJOR EN EL CORREO NUESTRO: [e-mail] y contraseña el resto del nombre de nuetsro colegio (pegado y miniscula)

 

1. Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos:

3 rad= _______________

2π/5rad. =­­­­­­­­­­­_____________

2. Expresa en radianes los siguientes ángulos:

316°= _______________

10° = _______________

3. Si un punto P(-2, 5) está sobre una circunferencia y el ángulo central α está en posición normal, entonces el valor de cosα es=  _____________

4. Sabiendo que tan α = 2, y que  180º < α <270°. Entonces sen(α) = ___________

5. Dibuje un ángulo en posición normal de 850° (indique con qué ángulo es coterminal y cuántas vueltas alcanza)

6. Comprobar las identidades:

a)  tanX cosX cscX = 1

 b) secX(1-sen²X) = cosX

c) tanX + cotX = secX cscX

 

7. Identifique a qué corresponde cada gráfica e indique periodo y amplitud

 

 

NOMBRE___________               NOMBRE_________

PERIODO____                              PERIODO_______

AMPLITUD__________               AMPLITUD---------

NOMBRE________                            PERIODO_______ AMPLITUD__________

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Calcular el valor de: (deje su respuesta con dos decimales)

    

A. = ___________

 

B. = ______________

9. Compruebe cada identidad:

A.   Sen(x+90°) = cosX

B.  cos(X – 180°) = -cosX

 

10. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 42°. Resolver el triángulo

 

11. Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.

 

12. De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos.

A= _______ b= ______ c= ______

13. Represente la recta Y= -2x + 10

 

14. Encuentre la distancia entre los puntos A(1,6) y      B(-3,8)

 

15. Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos C(2,5) y D( 4,8)

 

16. Resuelva las operaciones:

A. (X-3)² – (X + 5)(X-1)

B. (x+2)(x-2) – x(2x+5)

17. Simplifique las fracciones:

A.   

B.    

 

 

 

 

 

FÓRMULAS:

 

Teorema Del seno:                                             

 

Teorema del coseno:

 

Identidades trigonométricas de suma y resta de ángulos

 

l  SEN(A+B)= SENACOSB+COSASENB

l  SEN(A-B)= SENACOSB- COSASENB

l  COS(A+B)= COSACOSB – SENASENB

l  COS(A-B) = COSACOSB + SENASENB

l   

 

 

Identidades Fundamentales

cos² α + sen² α = 1

sec² α = 1 + tg² α

cosec² α = 1 + cotg² α

Distancia entre 2 puntos

Pendiente:

Ecuación de la recta:

 

Casos de factorización:

 

Factor común. Ejemplo: 15X² – 20X = 5X(3X – 4)

Diferencia de cuadrados: a² – b² = (a + b)(a – b)

Suma o Diferencia de cubos: X³ ± Y³ = (X±Y)(X²  XY   Y²)

Trinomio cuadrado perfecto: a² ± 2ab + b² =(a+b)²

Trinomio de la forma X² + BX + C: 

 X² – 7X + 12 = (X – 4)(X – 3)

 

TEMAS EVALUACIÓN GENERAL

PRIMER PERIODO

 

Equivalencias entre los diferentes sistemas de medidas de ángulos (sistema sexagesimal – sistema radián)

 

Angulos coterminales, ángulos de más de una vuelta, medir y trazar ángulos en sentido positivo y negativo (Ojo transportador)

 

Razones trigonométricas. Dado un punto (X;Y) encuentra las razones trigonométricas. Dado el valor de una razón, encuentra las demás razones trigonométricas

 

SEGUNDO PERIODO

 

Identidades fundamentales  - Identidades de suma de ángulo sen (A ± B)    cos( A ± B)  Tan (A ± B)

 

Gráficas (periodo, amplitud, identificar a  qué función trigonométrica  corresponde la gráfica (senx, sen2x, 2senx lo mismo para coseno, tan, etc)

 

Uso de calculadora para hallar valores de funciones trigonométricas en grados y en radianes

 

TERCER PERIODO

 

Ecuaciones Trigonométricas

Solución de triángulos rectángulos

Teorema de Seno

 

CUARTO PERIODO

 

Teorema del coseno

Distancia entre 2 puntos – Punto medio – ecuación de la recta – gráficas de rectas

 

 

ADEMÁS INCLUYE ALGEBRA: suma y resta, producto de polinomios; productos notables (binomio al cuadrado, diferencia de cuadrados ) , simplificación de fracciones

 

 

 

LINEA RECTA

La Geometría analítica consiste en emplear operaciones de cálculo para resolver problemas de geometría. En un plano, podemos representar una recta mediante una ecuación, y determinar los valores que cumplan determinadas condiciones, por ejemplo las de un problema de geometría.

_{DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS}

 

http://www.sectormatematica.cl/contenidos/distancia.htm

LINEA RECTA

 

Características de la recta

Algunas de las características de la recta son las siguientes:

• La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos.
• La distancia más corta entre dos puntos está en una línea recta, en la geometría euclidiana.
• La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos.

http://es.wikipedia.org/wiki/Recta#Caracter.C3.ADsticas_de_la_recta

PENDIENTE

La pendiente de la recta es la tangente del ángulo de inclinación formado por el eje X y la recta dada, medido en sentido positivo. Por tanto si se toman dos puntos sobre la recta, la pendiente, simbolizada con m, corresponde al cateto opuesto del ángulo en mención sobre el cateto adyacente, lo que se traduce en:

  

m=(Y₂ -Y₁)/ (X₂ - X₁)

 

Solución de Triángulos Rectángulos

http://www.youtube.com/watch?v=0V8Jxi7WDzg

Para solucionar un triángulo rectángulo necesitamos tener en cuenta:
1. Teorema de Pitágoras: Hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

a² + b² = c²

2. Las razones trigonométricas

En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas del ángulo con vértice en A, son:

El seno: la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa,

El coseno: la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,

La tangente: la razón entre el cateto opuesto y el adyacente,

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Circunferencia unitaria

l  Sen a = Y

l  Cos a = X

l  Tan a = y/x

l  Cot a = x/y

l  Sec a = 1/X

l  Csc a= 1/Y

 

MEDICIÓN DE ÁNGULOS

 

lSISTEMA SEXAGESIMAL

lLas unidades de medida de ángulos mas conocidas son los grados, minutos y

 segundos. Este tipo de medidas está basada en la división en partes iguales de una circunferencia.
Las unidades de medida de ángulos mas conocidas son los grados, minutos y segundos. Este tipo de medidas está basada en la división en partes iguales de una circunferencia.

Las equivalencias son las siguientes:

360º = un giro completo alrededor de una circunferencia
180º = 1/2 vuelta alrededor de una circunferencia
90º = 1/4 de vuelta
1º = 1/360 de vuelta, etc.

l

Las equivalencias son las siguientes:

360º = un giro completo alrededor de una circunferencia
180º = 1/2 vuelta alrededor de una circunferencia
90º = 1/4 de vuelta
1º = 1/360 de vuelta

l
1º = 60’             1’ = 60”         1º = 3600”

Repaso de Algebra

 

MATEMATICAS GRADO DECIMO

APUNTES PARA TRIGONOMETRIA: Recordando el Álgebra

 Por Helena hernández Millán

POLINOMIOS:

TERMINOS SEMEJANTES: Expresiones algebraicas con la misma parte literal afectada por los mismos exponentes. Para reducirlas se suman algebraicamente sus coeficientes y su parte literal se conserva igual.

Ejemplo: -5X⁴ + 8X⁴= 3X⁴

PRODUCTO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS: se multiplican los coeficientes (teniendo en cuenta sus signos) y los exponentes de la parte literal se suman.

EJEMPLO: (-6X³Y⁷)(9X⁵Y^-3)= -54X⁸Y⁴

(3X⁵-4X)(-2X³)= -6X⁸ + 8X⁴

PRODUCTOS NOTABLES:

Binomio al cuadrado: (a ± b)² = a² ± 2ab + b²        Ej:     (X – 3)² = X² – 6X + 9

Binomio al Cubo: (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³   Ej:  (X – 2)³= X³ – 3(X²)(2) + 3X(2²) – 2³ = X³-6X²+12X -8

Suma por Diferencia: (a + b)(a – b) = a²- b²     Ej: (4X³ + 3X) (4X³ - 3X)= 16X⁶ – 9X²

COCIENTES NOTABLES:

                                                    

                                  

FACTORIZACIÓN: Factorizar significa expresar un polinomio como un producto de dos o más expresiones

Factor Común: Cuando todos los términos del polinomio tienen un factor común, es decir un divisor que aparece en todos los términos. En el coeficiente corresponde al máximo común divisor y en la parte literal común, a la de menor exponente.

Ejemplo: Factorizar  8X³Y³Z – 24X⁶Y⁴ + 12X²Y⁷Z² = 4X²Y³(2XZ – 6X⁴Y + 3Y⁴Z²)

Diferencia de Cuadrados: Ocurre cuando aparece una diferencia (resta) de dos expresiones que sean cuadrados perfectos. Se factoriza como la suma por la diferencia de las raíces de las dos expresiones.

Ejemplo: X² – Y² = (X + Y)(X – Y)                      16a² – 25b⁶ = (4a + 5b³)(4a – 5b³)

Trinomio Cuadrado perfecto: Ocurre cuando el polinomio corresponde al desarrollo de un binomio al cuadrado. Para comprobar que estamos en este caso se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos (que siempre deben ser positivos) y se duplica el producto de estas dos raíces. Si este resultado coincide con el segundo término del trinomio entonces si es cuadrado perfecto. Se factoriza como un binomio con las dos raíces y signo del segundo término elevado al cuadrado.

Trinomio de la forma X²+BX + C: Se factorizan buscando dos números que multiplicados den el término independiente y sumados (teniendo en cuenta el signo) den el coeficiente del segundo término. En cada paréntesis se inicia con la raíz del primer término del trinomio, luego signo del segundo para el primer factor y,  producto de segundo y tercer términos, y a continuación los dos números encontrados.

X² – 9X + 20 = (X – 5)(X – 4)

Trinomio de la forma AX²+BX + C: Se diferencian de los trinomios del caso anterior porque el primer término tiene un coeficiente distinto de 1. Para factorizarlo se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del primer término, cuidando de dejar indicado el producto en el segundo término, y se debe dividir por este mismo número. De esta manera se reduce a un trinomio de la forma X² +BX + C, ya que el primer término aparece como un cuadrado perfecto.

Ej: factorizar 2X² + 11X + 5

Multiplicamos por 2 el trinomio, dejando indicado en el segundo (la expresión del paréntesis corresponde a la raíz del primer término, así: 4X² + 11(2X) + 10.

Luego se buscan dos números que multiplicados sean 10 y sumados 11. Se factoriza dejando en cada factor la raíz cuadrada del primer término de este nuevo trinomio. No olvidar dividir por el número que se multiplicó:

 

Diferencia de Cubos: a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

Suma de Cubos: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

 

PROPIEDADES DE POTENCIACIÓN

Producto de Potencias de Igual base: Se deja la misma base y se suman los exponentes

(X³Y⁵)(X⁴Y⁹) = X⁷Y¹⁴

Cociente de Potencias de igual base: Se deja la misma base y se restan los exponentes.

Potencia de Potencia: Se deja la misma base y se multiplican los exponentes

Potencia de un Producto: Cada factor se eleva al exponente dado

(X³YZ⁴)⁵ = X¹⁵Y⁵Z²⁰

Potencia de un Cociente: Tanto numerador como denominador se afectan por el exponente dado

Exponente Negativo:

Potencias de cero:

X⁰=1                          0^N = 0                           0⁰ = INDETERMINADO

 

POTENCIAS DE 10

10⁰ = 1           10¹ = 10            10² = 100           10³ = 1000     10^-1 = 1/10 = 0,1       10^-2=1/100 = 0,01       10^-3=  1/1000 = 0,001

NOTACIÓN CIENTÍFICA:

Es utilizada cuando se desea expresar una cantidad en términos de potencias de 10, dejando el número original con un dígito en su parte entera

245,47 expresado en notación científica: 2,4547 X 10^-2

3645 en notación científica: 3,645 X 10³

RADICACIÓN

Corresponde a una expresión cuyo exponente es número racional:

Propiedades de Radicación

1.     ejemplo:
2.     ejemplo:
3.    ejemplo;
4.                ejemplo:

LOGARITMACIÓN

Es el exponente al que hay que elevar una base para obtener el número dado.

Log₃9 = 2  porque 3²=9               log₁₀1000 =3 porque 10³= 1000      log0,01= -2 porque 10^-2= 0,01 (cuando no se expresa la base debe entenderse como logaritmo en base 10)

Propiedades de los logaritmos

1. Log(A X B) = logA + logB
2. Log(A/B) = logA – logB
3. Log_n1= 0
4. Log_nn= 1
5. La base de un logaritmo nunca es negativa
6. Los números negativos no tienen logaritmo

 

FORMULA GENERAL DE ECUACIÓN CUADRATICA

Dada la ecuación general de segundo grado: AX² + BX + C = 0, la forma general para resolverla es: